Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置，連接AE．
（1）求證：AB⊥AE；
（2）若BC²=AD•AB，求證：四邊形ADCE為正方形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據“SAS”可判斷△BCD≌△ACE，則∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結論；
（2）由于BC=AC，則AC²=AD•AB，根據相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，則∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形．
解答：證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置，
∴∠DCE=90°，CD=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠B=∠CAE=45°，
∴∠BAE=45°+45°=90°，
∴AB⊥AE；

（2）∵BC²=AD•AB，
而BC=AC，
∴AC²=AD•AB，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴∠CDA=∠BCA=90°，
而∠DAE=90°，∠DCE=90°，
∴四邊形ADCE為矩形，
∵CD=CE，
∴四邊形ADCE為正方形．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等腰直角三角形的性質、三角形全等、相似的判定與性質以及正方形的判定．