Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），過點A的直線y=kx+1交拋物線于點C（2，3）．
（1）求直線AC及拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+1與拋物線的對稱軸交于點E，以點E為中心將直線y=kx+1順時針旋轉90°得到直線l，設直線l與y軸的交點為P，求△APE的面積；
（3）若G為拋物線上一點，是否存在x軸上的點F，使以B、E、F、G為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題是一次函數，二次函數的綜合題，充分利用兩者之間圖象的聯系，解析式中待定系數的個數，先求一次函數解析式，再求二次函數解析式，根據題目的要求，對二次函數進行運用．在坐標系中求圖形面積，可以充分利用圖形的各頂點坐標的數值，確定圖形的底、高，可把圖形分割成幾個規則圖形的和或者差．
解答：解：（1）∵點C（2，3）在直線y=kx+1上，
∴2k+1=3．
解得k=1．
∴直線AC的解析式為y=x+1．
∵點A在x軸上，
∴A（-1，0）．
∵拋物線y=-x²+bx+c過點A、C，
∴
解得
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
可得拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0）．
∴E（1，2）．
根據題意，知點A旋轉到點B處，直線l過點B、E．
設直線l的解析式為y=mx+n．
將B、E的坐標代入y=mx+n中，
聯立可得m=-1，n=3．
∴直線l的解析式為y=-x+3．
∴P（0，3）．
過點E作ED⊥x軸于點D．
∴S_△PAE=S_△PAB-S_△EAB=AB•PO-AB•ED=×4×（3-2）=2．

（3）存在，點F的坐標分別為（3-，0），（3+，0），（-1-，0）（-1+，0）．
點評：本題考查點的坐標的求法及一次函數，二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．