Question

如圖，⊙O與直線PC相切于點C，直徑AB∥PC，PA交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE交PC于F．
（1）求證：PF²=EF•FD；
（2）當tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=時，求PF的長；
（3）在（2）條件下，連接BD，判斷△ADB是什么三角形？并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵AB∥PC，
∴∠BPC=∠ABE=∠ADE．
又∵∠PFE=∠DFP，△PFE∽△DFP，
∴PF：EF=DF：PF，PF²=EF•FD．

（2）連接AE，
∵AB為直徑，
∴AE⊥BP．
∵tan∠APB==，tan∠ABE==，
令AE=a，PE=2a，BE=3a，AP=a=，
∴a==AE，PE=，BE=．
∵PC為切線，
∴PC²=PE•PB=4．
∴PC=2．
∵FC²=FE•FD=PF²∴PF=FC==1，
∴PF=1．

（3）△ADB為等腰直角三角形．
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°．
∵PE•PB=PA•PD，
∴PD=2BD===AD．
∴△ADB為等腰Rt△．
分析：（1）欲證PF²=EF•FD，可以證明△PFE∽△DFP得出；
（2）求PF的長，根據∠APB的正切，需連接AE，求出AE，PE，BE的長，再根據PC為切線，求出PC的長，通過相似的性質，切線的性質得出PF=FC即可；
（3）判斷△ADB是什么三角形，根據圓周角定理得出∠ADB=90°，再求出AD，DB，AB的長，可以得出△ADB為等腰Rt△．
點評：乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過證明三角形相似得出，同時綜合考查了三角函數，三角形的判斷，切線的性質等．