Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AC、BC為弦，點P為

AB

上一點，AB=10，AC：BC=3：4．
（1）當點P與點C關于直線AB對稱時（如圖1），求PC的長；
（2）當點P為

AB

的中點時（如圖2），求PC的長．

Answer 1

分析：（1）根據題意求得PC⊥AB，且CD=DP，然后根據勾股定理求出CD的長；
（2）過點B作BE⊥PC于點E，連接PB，由（1）問求出AC和BC的長，然后根據題干條件求出EP的長，即可求出PC．

解答：解：（1）在⊙O中，如圖
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90゜．
∵點P與點C關于AB對稱，
∴PC⊥AB，且CD=DP．
∴由三角形面積得：CD•AB=AC•BC．
∵AB=10，AC：BC=3：4，
∴由勾股定理求得AC=6，BC=8．
∴CD=

6×8

10

=4.8，
∴PC=2CD=9.6；

（2）過點B作BE⊥PC于點E，連接PB，
由（1）得AC=6，BC=8．
∵點P為 的中點，∴∠ACP=∠BCP=45°．
在Rt△BEC中，可求得CE=BE=4

2

∵∠A=∠P，∠ACB=∠BEC=90°，
∴tan∠P=tan∠A．
∴

BC

AC

=

BE

EP

．
∴EP=

AC•BE

BC

=

6×4 2

8

=3

2

．
∴PC=CE+EP=4

2

+3

2

=7

2

．

點評：本題主要考查圓周角定理、勾股定理和垂徑定理的知識點，解答本題的突破口利用好圓周角定理和垂徑定理，此題難度一般．