Question

【題目】如圖1，有一張矩形紙片已知現將紙片進行如下操作:現將紙片沿折痕進行折疊，使點落在邊上的點處，點在上(如圖2)；然后將紙片沿折痕進行第二次折疊，使點落在第一次的折痕上的點處，點在上(如圖3)，給出四個結論：①的長為；②的周長為③；④的長為其中正確的結論有（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

過G點作MN∥AB，交AD、BC于點M、N，可知四邊形ABEF為正方形，可求得AF的長，可判斷①，且△BNG和△FMG為等腰三角形，設BN=x，則可表示出GN、MG、MD，利用折疊的性質可得到CD=DG，在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，則可求得BH，容易判斷②③④，可得出答案．

解：如圖，過點G作MN∥AB，分別交AD、BC于點M、N，

∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=12，
由折疊可得AB=BE，且∠A=∠ABE=∠BEF=90°，
∴四邊形ABEF為正方形，
∴AF=AB=10，
故①正確；
∵MN∥AB，
∴△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且MN=AB=10，
設BN=x，則GN=AM=x，MG=MN-GN=10-x，MD=AD-AM=12-x，
又由折疊的可知DG=DC=10，
在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2=GD2，
即（12-x）2+（10-x）2=102，解得x=4，
∴GN=BN=4，MG=6，MD=8，
又∠DGH=∠C=∠GMD=90°，
∴∠NGH+∠MGD=∠MGD+∠MDG=90°，
∴∠NGH=∠MDG，且∠DMG=∠GNH，
∴△MGD∽△NHG，
∴，即，
∴NH=3，GH=CH=5，
∴BH=BC-HC=12-5=7，
故④正確；
又△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且BN=4，MG=6，
∴BG=，GF=，
∴△BGH的周長=BG+GH+BH=+5+7=12+，

∴，
故②不正確；③正確；
綜上可知正確的為：①③④，
故選：C．