Question

一艘漁船在A處觀測到東北方向有一小島C，已知小島C周圍4.8海里范圍內是水產養殖場．漁船沿北偏東30°方向航行10海里到達B處，在B處測得小島C在北偏東60°方向，這時漁船改變航線向正東（即BD）方向航行，這艘漁船是否有進入養殖場的危險？

Answer 1

【答案】分析：過點B作BM⊥AH于M，過點C作CN⊥AH于N，利用直角三角形的性質求得CK的長，若CK＞4.8則沒有進入養殖場的危險，否則有危險．
解答：解：解法一，過點B作BM⊥AH于M，
∴BM∥AF．
∴∠ABM=∠BAF=30°
在△BAM中，AM=AB=5，BM=5
過點C作CN⊥AH于N，交BD于K
在Rt△BCK中，∠CBK=90°-60°=30°
設CK=x，則BK=x
在Rt△ACN中，
∵在A處觀測到東北方向有一小島C，
∴∠CAN=45°，
∴AN=NC．
∴AM+MN=CK+KN
又NM=BK，BM=KN
∴x+5=5+x．解得x=5
∵5海里＞4.8海里，
∴漁船沒有進入養殖場的危險
答：這艘漁船沒有進入養殖場危險；
解法二，過點C作CE⊥BD，垂足為E，如圖：
∴CE∥GB∥FA．
∴∠BCE=∠GBC=60°，∠ACE=∠FAC=45°
∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°
又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°
∴∠BCA=∠BAC，
∴BC=AB=10
在Rt△BCE中，CE=BC•cos∠BCE=BC•cos60°=10×=5（海里）
∵5海里＞4.8海里，∴漁船沒有進入養殖場的危險
答：這艘漁船沒有進入養殖場的危險．
點評：解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．