Question

已知△DCE的頂點C在∠AOB的平分線OP上，CD交OA于F，CE交OB于G．
（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，則圖中有哪些相等的線段，請直接寫出你的結論：______；
（2）如圖2，若∠AOB=120^o，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與線段CG的數量關系并加以證明；
（3）若∠AOB=α，當∠DCE滿足什么條件時，你在（2）中得到的結論仍然成立，請直接寫出∠DCE滿足的條件．

Answer 1

解：（1）結論：CF=CG，OF=OG．  

（2）法一：過點C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N．
∵OC平分∠AOB，
∴CM=CN，①
∠CMF=∠CNG=90°，②
∠AOC=∠BOC．
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∠MCN=360°-∠AOB-∠CMF-∠CNO=60°．
∴∠DCE=∠AOC=60°．
∴∠MCN=∠FCG．
∴∠MCN-∠FCN=∠FCG-∠FCN．
即∠1=∠2．③
由①②③得△CMF≌△CNG．
∴CF=CG．
法二：在OB上截取一點H，使得OH=OC．
∵OP平分∠AOB，∠AOB=120°，
∴∠1=∠2=60°，∠DCE=∠1=60°．
∵OH=OC，
∴△OCH是等邊三角形．
∴CO=CH，∠2=∠3．①
∴∠1=∠3．②
∴∠4+∠5=180°．
又∠5+∠6=180°，
∴∠4=∠6．③
由①②③得△CFO≌△CGH．
∴CF=CG．

（3）∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四邊形FOGC是圓內接四邊形，
∴∠DCE=180°-α．
分析：（1）由CD⊥OA，CE⊥OB，OP平分∠AOB及公共邊OC，可證明△COF≌△COG，得出CF=CG，OF=OG；
（2）作輔助線，構造等邊三角形，或過C點作∠AOB的兩邊的垂線，運用（1）的方法證明△COF≌△COG；
（3）由（1）（2）的探究過程可知，當四邊形CFOG的兩個對角互補時，（2）中的結論仍然成立．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，角平分線的性質．關鍵是利用旋轉的方法證明三角形全等，得出結論．