Question

如圖，在Rt△ABC中，AF是斜邊上的高線，且BD=DC=FC=1，則AC的長為（　　）

• A、

  3	2

• B、

  3

• C、

  2

• D、

  3	3

Answer 1

分析：首先設出AD的長，過D作BC的垂線DE，易知△CDE∽△CAF，可利用x表示出CE的長，由等腰三角形三線合一的性質可得到BC=2CE，即可知BC的表達式，而在Rt△ADB中，利用勾股定理易求得AB的表達式，那么在Rt△ABC中，根據AB、AC、BC的表達式，可利用勾股定理列出關于x的方程，由此求得AD的長．

解答：解：如圖，過D作BC邊上的高DE．
設AD的長為x，Rt△ADB中，由勾股定理
AB=

1-x2

等腰△DCB中，DE⊥BC，
∴E為BC的中點
又∵AF⊥BC，
∴△CDE∽△CAF
∴CD：CA=CE：CF
即

1

x+1

=CE
∴BC=2CE=

2

x+1

直角△ABC中，由勾股定理可知
AB²+AC²=BC²
即1-x²+（1+x）²=

4

(1+x)2

解得x=

3	2

-1
∴AC=AD+CD=

3	2

-1+1=

3	2

．
故選A．

點評：本題是一道綜合性較強的題目，需要同學們把等腰三角形的兩條腰相等、兩個底角相等、三角形內角和為180度結合起來解答．