Question

【題目】 問題：如圖1，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，AC=，BC=2，求CD的長．

（1）發現：張強同學解決這個問題的思路是：將△BCD繞點D逆時針旋轉90°到△AED處，點B，C分別落在點A，E處（如圖2），易證點C，A，E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，從而得到了AC，BC，CD三條線段之間的關系為：AC+BC=CD，從而求出CD的長是______ ；

（2）應用：如圖3，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且，若AB=5，BC=4，求CD的長；

（3）拓展：如圖4，∠ACB=90°，AC=BC=2，點P為AB的中點，若點E滿足CE=CA，點Q為AE的中點，直接寫出線段PQ的長是______．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）CD=；（3）．

【解析】

（1）代入結論：AC+BC=CD，直接計算即可；

（2）如圖，根據直徑所對的圓周角是直角得：∠ADB=∠ACB=90°，由弧相等可知所對的弦相等，得到滿足圖1的條件，所以AC+BC=CD，代入可得CD的長；

（3）根據題意可知，可求出AQ長，則利用（1）的結論進行解答．

解：（1）由題意知：AC+BC=CD，

∴+2=CD，

∴CD=3；

故答案為：3；

（2）如圖1，連接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵，

∴AD=BD，

∵AB=5，BC=4，

∴由勾股定理得：AC==3，

∵AC+BC=CD，

即：3+4=CD，

∴CD=；

（3）如圖2，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

點P是AB的中點，

∴AP=CP，∠APC=90°，

又∵CA=CE，點Q是AE的中點，

∴∠CQA=90°，

∵AC=BC=2，

∵AE=，

∴AE=1，

∴AQ=，

由勾股定理可求得：CQ=，

由（1）的結論可知：AQ+CQ=PQ，

∴，

∴．

故答案為：．