Question

已知△ABC，（1）如圖1，若P點是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，則∠P=90°+∠A；
（2）如圖2，若P點是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點，則∠P=90°-∠A；
（3）如圖3，若P點是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點，則∠P=90°-∠A．
上述說法正確的個數是（ ）

A．0個
B．1個
C．2個
D．3個

Answer 1

【答案】分析：用角平分線的性質和三角形內角和定理證明，證明時可運用反例．
解答：解：（1）若P點是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，
則∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB
則∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）
在△BCP中利用內角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-（180°-∠A）=90°+∠A，
故成立；
（2）當△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°時，結論不成立；
（3）若P點是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點，
則∠PBC=∠FBC=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∠BCP=∠BCE=90°-∠ACB
∴∠PBC+∠BCP=180°-（∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠PBC+∠BCP=90°+∠A，
在△BCP中利用內角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-（180°+∠A）=90°-∠A，
故成立．
∴說法正確的個數是2個．
故選C．
點評：利用特例，反例可以比較容易的說明一個命題是假命題．