Question

如圖⊙C半徑為1，圓心坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P（m，n）是⊙C內(nèi)或⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則m²+n²的最小值是（ ）

A．9
B．16
C．25
D．36

Answer 1

【答案】分析：由于圓心C的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），利用勾股定理可計(jì)算出OC==5，OP=，這樣把m²+n²理解為點(diǎn)P點(diǎn)圓點(diǎn)的距離的平方，利用圖形可得到當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段OC上時(shí)，點(diǎn)P離圓點(diǎn)最近，即m²+n²有最小值，然后求出此時(shí)的PC長(zhǎng)即可．
解答：解：連OC交⊙O于P′點(diǎn)，如圖，
∵圓心C的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
∴OC==5，OP=，
∴m²+n²是點(diǎn)P點(diǎn)圓點(diǎn)的距離的平方，
∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段OC上時(shí)，即P′處，點(diǎn)P離圓點(diǎn)最近，即m²+n²有最小值，
此時(shí)OP=OC-PC=5-1=4，則m²+n²=16．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑為R，當(dāng)d＞R，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=R，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜R，點(diǎn)在圓內(nèi)．也考查了勾股定理以及坐標(biāo)與圖形的關(guān)系．