Question

如圖，點M，N分別在等邊三角形ABC的BC、CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．
（1）求證：∠BQM=60°．
（2）思考下列問題：
①如果將原題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的新命題是否仍是真命題？
②如果將原題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③如果將題中“等邊三角形ABC”，改為“等腰直角三角形ABC，且∠BAC=90°”，是否仍能得到∠BQM=60°？
請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：①______；②______；③______；
并選擇其中一個真命題給出證明．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=60°
∵在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠NBC=∠BAM，
又∵∠NBC+∠ABN=60°，
∴∠BAM+∠ABN=60°，
即∠BQM=60°；

（2）①是；②是；③否，
選②，
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAN=∠ACM=120°，
∵CN=BM，BC=AC，
∴AN=CM，
∵在△ABN和△CAM中，
，
∴△ABN≌△CAM，
∴∠M=∠N，∠NAQ=∠CAM，
又∵∠CAM+∠M=∠ACB=60°，∠NAQ=∠CAM，
∴∠N+∠NAQ=60°，
即∠BQM=60°，
故答案為：是，是，否．
分析：（1）根據等邊三角形性質得出AB=AC，∠ABC=∠C=60°，根據SAS證△ABM≌△BCN，推出∠NBC=∠BAM，求出∠BAM+∠ABN=60°即可；
（2）①根據∠BQM=60°和∠ABC=60°求出∠BAM=∠CBN推出△BCN≌△ABM即可；②求出△ABN≌△CAM，推出∠M=∠N，∠NAQ=∠CAM，根據∠CAM+∠M=∠ACB=60°和∠NAQ=∠CAM求出∠N+∠NAQ=60°即可；③∠BQM=∠ABC=45°．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質的應用．