Question

（1）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于F，過F作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．判斷DE=DB+EC是否成立？為什么？

（2）如圖，若點F是∠ABC的平分線和外角∠ACG的平分線的交點，其他條件不變，請猜想線段DE、DB、EC之間有何數量關系？證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）成立；
∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1=∠2，∠5=∠4．
∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．
∴∠1=∠3，∠6=∠5．
根據在同一個三角形中，等角對等邊的性質，可知：BD=DF，EF=CE．
∴DE=DF+EF=BD+CE．
故成立．

（2）∵BF分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC．
∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．
∴∠ABF=∠DFB，
∴BD=DF．
∵CF平分∠ACG，
∴∠ACF=∠FCG．
∵DF∥BC，
∴∠DFC=∠FCG．
∴∠ACF=∠DFC，
∴CE=EF．
∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．
分析：（1）根據平行線的性質和角平分線的性質，解出△BED和△CFD是等腰三角形，通過等量代換即可得出結論．
（2）同（1），只要求出△BDF與△ECF是等腰三角形即可．
點評：本題考查了等腰三角形性質及平行線的性質與角平分線的性質；一般是利用等腰（等邊）三角形的性質得出相等的邊，進而得出結論是解答本題的基本思路．