Question

（2009•婁底）已知關于x的二次函數y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4．
（1）探究m滿足什么條件時，二次函數y的圖象與x軸的交點的個數；
（2）設二次函數y的圖象與x軸的交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=5，與y軸的交點為C，它的頂點為M，求直線CM的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△=b²-4ac可寫出用m表示的△關系式，分別討論m在取不同的值時二次函數y的圖象與x軸的交點的個數；
（2）由根與系數的關系可把x₁²+x₂²轉換為m的表達式，由此可得方程2m²-10m-7=5，求出m的值可得二次函數解析式；則根據函數表達式可求出頂點M及與y軸交點C的坐標，使用代入法可求得直線CM的解析式．
解答：解：（1）令y=0，得：x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0，
∴△=（2m-1）²-4（m²+3m+4）=-16m-15，
當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根，即-16m-15＞0，
∴m＜-，
此時y的圖象與x軸有兩個交點；
當△=0時，方程有兩個相等的實數根，即-16m-15=0，
∴m=-，
此時，y的圖象與x軸只有一個交點；
當△＜0時，方程沒有實數根，即-16m-15＜0，
∴m＞-，
此時y的圖象與x軸沒有交點．
∴當m＜-時，y的圖象與x軸有兩個交點；
當m=-時，y的圖象與x軸只有一個交點；
當m＞-時，y的圖象與x軸沒有交點．

（2）由根與系數的關系得x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=m²+3m+4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2m-1）²-2（m²+3m+4）=2m²-10m-7，
∵x₁²+x₂²=5，
∴2m²-10m-7=5，
∴m²-5m-6=0，
解得：m₁=6，m₂=-1，
∵m＜-，
∴m=-1，
∴y=x²+3x+2，
令x=0，得y=2，
∴二次函數y的圖象與y軸的交點C坐標為（0，2），
又y=x²+3x+2=（x+）²-，
∴頂點M的坐標為（-，-），
設過C（0，2）與M（-，-）的直線解析式為y=kx+b，
解得k=，b=2，
∴所求的解析式為y=x+2．
點評：本題考查了一元二次方程中△的應用，考查了學生分類討論問題的能力；需注意靈活運用一元二次方程中根與系數的關系的求函數解析式；求函數解析式一般要用待定系數法．