Question

如圖，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉，DE交邊AB于M，DF交邊BC于N．
①證明：DM=DN；
②在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的？若不發生變化，求出其面積．

Answer 1

分析：①連接BD，求出∠MBD=∠C，∠MDB=∠CDN，BD=DC，證△BDM≌△CDN即可；
②求出△BDM和△CDN面積相等，求出四邊形DMBN的面積等于△BDC面積，等于△ABC面積的一半，求出△ACB的面積即可．

解答：①證明：連接BD，
∵△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，D為AC中點，
∴BD=DC=

1

2

AC，∠ABD=∠CBD=∠A=∠C=45°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°=∠EDF，
∴∠MDB=∠CDN=90°-∠BDN，
在△BMD和△CND中，

∠MBD=∠C BD=DC ∠BDM=∠CDN

，
∴△BMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN．

②解：不發生變化，
∵△BMD≌△CND，
∴S_△BMD=S_△CND，
∴S_{四邊形DMBN}=S_△BMD+S_△BDN
=S_△CDN+S_△BDN=S_△BDC
=

1

2

S_△ACB
=

1

2

×

1

2

×1×1
=

1

4

．

點評：本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上中線的性質，全等三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的對應邊相等，對應角相等．