Question

【題目】一次函數的圖象如圖所示，它與二次函數的圖象交于、兩點（其中點在點的左側），與這個二次函數圖象的對稱軸交于點．

求點的坐標；

設二次函數圖象的頂點為．

①若點與點關于軸對稱，且的面積等于，求此二次函數的關系式；

②若，且的面積等于，求此二次函數的關系式．

Answer 1

【答案】點；①；②y=x2﹣x﹣3或y=﹣x2+2x+.

【解析】

（1）先求出對稱軸為x=2，然后求出與一次函數y=x的交點，即點C的坐標；

（2）①先求出點D的坐標，設A坐標為（m，m），然后根據面積為3，求出m的值，得出點A的坐標，最后根據待定系數法求出a、c的值，即可求出解析式；

②過點A作AE⊥CD于E，設A坐標為（m，m），由S△ACD=10，求出m的值，然后求出點A坐標以及CD的長度，然后分兩種情況：當a＞0，當a＜0時，分別求出點D的坐標，代入求出二次函數的解析式．

（1）∵y=ax2﹣4ax+c=a（x﹣2）2﹣4a+c，∴二次函數圖象的對稱軸為直線x=2，當x=2時，y=x=，故點C（2，）；

（2）①∵點D與點C關于x軸對稱，∴D（2，﹣），∴CD=3，設A（m，m）（m＜2），由S△ACD=3得：×3×（2﹣m）=3，解得：m=0，∴A（0，0）．

由A（0，0）、D（2，﹣）得：

，解得：a=，c=0，∴y=x2﹣x；

②設A（m，m）（m＜2），過點A作AE⊥CD于E，則AE=2﹣m，CE=﹣m，AC===（2﹣m）．

∵CD=AC，∴CD=（2﹣m），由S△ACD=10得：×（2﹣m）2=10，解得：m=﹣2或m=6（舍去），∴m=﹣2，∴A（﹣2，﹣），CD=5．分兩種情況討論：

i）當a＞0時，則點D在點C下方，∴D（2，﹣），由A（﹣2，﹣）、D（2，﹣）得：

，解得：，∴y=x2﹣x﹣3；

ii）當a＜0時，則點D在點C上方，∴D（2，），由A（﹣2，﹣）、D（2，）得：，解得：，∴y=﹣x2+2x+．

綜上所述：y=x2﹣x﹣3或y=﹣x2+2x+．