Question

如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一動點（D點不與B、C兩點重合）．DE∥AC交AB于E點，DF∥AB交AC于F點．
（1）試探索AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，并說明理由；
（2）在（1）的條件下△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形．為什么？
（3）在（1）、（2）的條件下當BE+CF=

2

時，求證：AD=BD•CD．

Answer 1

分析：（1）在平行四邊形的基礎上，只需一組鄰邊相等或對角線互相垂直即可，故第一問可解；
（2）在菱形的基礎上，則再有一角為直角，即為正方形；
（3）在（1）、（2）的條件下，可得四邊形AEDF為正方形，即AD=

2

AE，再通過一系列轉化即可．

解答：解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，要使四邊形AEDF為菱形，則只需一組鄰邊相等或對角線互相垂直即可，
∴當AD為∠BAC的平分線時，四邊形AEDF為菱形．

（2）要使四邊形AEDF為正方形，則只需在菱形的基礎上，再加一角為直角即可，
故△ABC為直角三角形即可滿足條件．

（3）由（1）、（2）可得，四邊形AEDF為正方形，即
在直角三角形BED中，根據勾股定理得：BD²=BE²+DE²，同理CD²=DF²+CF²，
又AD=

2

AE=（BE+CF）•AE=BE•AE+CF•AE=BE•ED+CF•FD，
又（BE+ED）²=AB²，（CF+FD）²=AC²，
又三角形ABC中，根據勾股定理得：AB²+AC²=（BD+CD）²，即（BE+ED）²+（CF+FD）²=（BD+CD）²，
整理得：BE²+DE²+2BE•ED+DF²+CF²+2CF•FD=BD²+CD²+2BD•CD，即2（BE•ED+CF•FD）=2BD•CD，
∴BE•ED+CF•FD=BD•CD，即AD=BD•CD．

點評：本題主要考查菱形及正方形的判定問題，應熟練掌握此類問題，能夠進行一些簡單的計算．