Question

已知關于x的方程x²+2（1+a）x+（3a²+4ab+4b²+2）=0有實根．若在直角坐標系xOy中，x軸上的動點M（x，0）到定點P（a，5），Q（b，1）的距離分別為MP和MQ，當點M的橫坐標的值是多少時，MP+MQ的值最小？

Answer 1

分析：由關于x的方程有實根，得到根的判別式大于等于0，把得到的不等式配方變形，根據兩非負數相加小于等于0，必需分別為0求出a與b的值，進而確定出P與Q的坐標，作出Q關于x軸的對稱點Q′，連接PQ′，由對稱知識得到MP+MQ=PQ′，根據兩點之間線段最短得到MP+MQ的值最小為PQ′，由Q關于x軸對稱的特點求出Q′的坐標，再加上P的坐標，代入直線PQ′：y=kx+b中，求出k與b的值，確定出直線PQ′的解析式，令y=0求出M的橫坐標，然后在直角三角形PQ′N中，根據勾股定理即可求出滿足題意的最小值．

解答：解：由題意得：
△=4（1+a）²-4×（3a²+4ab+4b²+2）≥0，
∴（a-1）²+（a+2b）²≤0，
∴a=1，b=-

1

2

，（2分）
則P（1，5），Q(-

1

2

，1)，
根據題意畫出圖形，如圖所示：
作出Q關于x軸的對稱點Q′，連接PQ′，與x軸交于點M，連接QM，
此時QM=Q′M，MP+MQ=MP+MQ′=PQ′最小，
則MP+MQ的值最小時，Q′(-

1

2

，-1)，（3分）又P（1，5），
在直角三角形PQ′N中，根據勾股定理得：
PQ′=

62+( 3 2 )2

=

153

2

=

3 17

2

．
則當點M的橫坐標為-

1

4

時，MP+MQ的最小值為

153

2

=

3 17

2

．（2分）

點評：此題綜合考查了一元二次方程解的判別方法，關于x軸對稱點的求法，勾股定理以及有關一次函數的知識．要求學生會利用“兩點法”確定一次函數的解析式，本題的關鍵和難點是找出Q關于x軸的對應點，連接P于此對應點的線段即為最短距離，利用數形結合的數學思想解決實際問題．