Question

以坐標原點為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點A，B.

（1）如圖一，動點P從點A處出發，沿x軸向右勻速運動，與此同時，動點Q從點B處出發，沿圓周按順時針方向勻速運動.若點Q的運動速度比點P的運動速度慢，經過1秒后點P運動到點(2,0)，此時PQ恰好是的切線，連接OQ.求的大小；
（2）若點Q按照（1）中的方向和速度繼續運動，點P停留在點(2,0)處不動，求點Q再經過5秒后直線PQ被截得的弦長.

Answer 1

（1）60°（2）

（1）解：如圖一，連結AQ．
由題意可知：OQ=OA=1.
∵OP=2,
∴A為OP的中點.
∵PQ與相切于點Q,
∴為直角三角形.              
∴ .         
即ΔOAQ為等邊三角形.
∴∠QOP=60°．                    
（2）解：由（1）可知點Q運動1秒時經過的弧長所對的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度
繼續運動，那么再過5秒，則Q點落在與y軸負半軸的交點處（如圖二）.
設直線PQ與的另外一個交點為D，過O作OC⊥QD于點C，則C為QD的中點.
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,
∴QP=.               
∵,
∴OC= .                        
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,
∴QC=.
∴QD=．
（1）利用切線性質定理，以及OQ與OP之間的關系，可得出∠QOP的度數
（2）關鍵是求出Q點的運動速度，利用垂徑定理，勾股定理可以解決．