Question

已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，則下列結論：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S_△ACE-S_△BCE=S_△ADC．其中正確結論的個數是

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：①在AE取點F，使EF=BE．利用已知條件AB=AD+2BE，可得AD=AF，進而證出AE=（AB+AD）；
②在AB上取點F，使BE=EF，連接CF．先由SAS證明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根據線段垂直平分線、等腰三角形的性質得出∠CFB=∠B；然后由鄰補角定義及四邊形的內角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；
③根據全等三角形的對應邊相等得出CD=CF，根據線段垂直平分線的性質性質得出CF=CB，從而CD=CB；
④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根據全等三角形的面積相等易證S_△ACE-S_△BCE=S_△ADC．
解答：①在AE取點F，使EF=BE．

∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，
∴AE=（AB+AD），故①正確；
②在AB上取點F，使BE=EF，連接CF．
在△ACD與△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B．
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正確；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，故③正確；
④易證△CEF≌△CEB，
∴S_△ACE-S_△BCE=S_△ACE-S_△FCE=S_△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S_△ACF=S_△ADC，
∴S_△ACE-S_△BCE=S_△ADC，故④正確．
故選D．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，線段垂直平分線、等腰三角形的性質，鄰補角定義及四邊形的內角和定理，綜合性較強，難度中等，關鍵是作輔助線．