Question

【題目】已知點D是等邊△ABC的邊BC上一點，以AD為邊向右作等邊△ADF，DF與AC交于點N．

（1）如圖①，當AD⊥BC時，請說明DF⊥AC的理由；

（2）如圖②，當點D在BC上移動時，以AD為邊再向左作等邊△ADE，DE與AB交于點M，試問線段AM和AN有什么數(shù)量關系？請說明你的理由；

（3）在（2）的基礎上，若等邊△ABC的邊長為2，直接寫出DM+DN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AM=AN，理由詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CAD=30°，再求出∠FAN=30°，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；
（2）根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°可得∠ADE=∠ADF，等邊三角形的三條邊都相等可得AD=AF，再求出∠DAM=∠FAN，然后利用“角邊角”證明△ADM和△AFN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得到AM=AN；
（3）根據(jù)垂線段最短可得DM⊥AB、DN⊥AC時，DM、DN最短，再利用△ABC的面積求出此時DM+DN等于等邊△ABC的高，然后求解即可．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，

∴∠CAD=×60°=30°，

又∵△ADF是等邊三角形，

∴∠DAF=60°，

∴∠DAN=∠FAN=30°，

∴AN⊥DF，

即DF⊥AC；

（2）AM=AN，理由如下：

∵△ADE，△ADF是等邊三角形，

∴∠ADE=∠F=60°，AD=AF，

∵∠DAM+∠CAD=60°，

∠FAN+∠CAD=60°，

∴∠DAM=∠FAN，

在△ADM和△AFN中，

∴△ADM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN；

（3）根據(jù)垂線段最短，DM⊥AB，DN⊥AC時，DM，DN最短，設等邊△ABC的高線為h，

則，

，

∴S△ABC=ACh=AC（DM+DN），

∴DM+DN=h，

∵等邊△ABC的邊長為2，

．

∴DM+DN的最小值為