Question

如圖，⊙O的半徑等于R，AB，CD都是⊙O的直徑，

AC

=120°，P點在

DB

上，PA交CD于M，PC交AB于N．
（1）求證OM+ON是一個定值；
（2）寫出圖中所有的相似三角形．

Answer 1

分析：（1）根據同弧所對的圓周角相等得到△ADO和△CBO都是等邊三角形，從而證得△ADM≌△CON，OM+ON=OM+DM=OD=R．
（2）利用同弧或等弧所對的圓周角相等得到相等的角，然后證得相似的三角形即可．

解答：解：（1）連接AD、CB，
∵AB，CD都是⊙O的直徑，

AC

=120°，
∴∠ADO=∠CBO=60°
∴△ADO和△CBO都是等邊三角形，
∴∠ADM=∠CON、∠DAP=∠DCP、AD=AO=OB=BC，
∴△ADM≌△CON，
∴ON=DM，
∴OM+ON=OM+DM=OD=R，
∴OM+ON是一個定值；

（2）∵∠AOM=∠APC，∠PAB=∠PAB，
∴△OAM∽△APN，
∵∠CON=∠CPA，∠DCP=∠DCP，
∴△CON∽△CPM．

點評：本題考查了圓周角定理及相似三角形的判定及性質，解決本題的關鍵是正確地作出輔助線．