Question

（2009•廈門質檢）如圖，已知等腰三角形ADC，AD=AC，B是線段DC上的一點，連接AB，且有AB=DB．
（1）若△ABC的周長是15厘米，且=，求AC的長；
（2）若=，求tanC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD=AC，AB=DB，可推出△DAB∽△DCA．相似比為==，3AD=2DC．因為DB+BC+AC=15cm．故DC+AC=15cm．AC=6cm；
（2）由于=，AB=DB，故BC=2AB．DC=3AB．由（1）△DAB∽△DCA，相似比為=，故AC²=3AB²．由BC=2AB，得BC²=4AB²．由勾股定理得△ABC是直角三角形．∠BAC=90度．故tanC==．
解答：解：（1）∵AD=AC，
∴∠D=∠C．
又∵AB=DB，
∴∠D=∠DAB．
∴∠DAB=∠D=∠C．（1分）
又∵∠D=∠D，
∴△DAB∽△DCA．（1分）
∴==．（1分）
∴3AD=2DC．
即3AC=2DC．
∵△ABC的周長是15厘米，
即AB+BC+AC=15cm，
則有DB+BC+AC=15cm．
∴DC+AC=15cm．（1分）
∴AC=6cm．（1分）

（2）∵=，AB=DB，
即有BC=2AB，（1分）
且DC=3AB，
由（1）△DAB∽△DCA，
∴=．
∴AC²=3AB²．（1分）
由BC=2AB，得BC²=4AB²．
∴AB²+AC²=BC²．
∴△ABC是直角三角形．（1分）
且∠BAC=90°．
∴tanC==．（1分）
點評：此題考查的是相似三角形的性質及直角三角形的判定定理，是中學階段的基本題目．