Question

（2009•廈門質檢）如圖，已知四邊形ABED，點C在線段BE上，連接DC，若AD∥BC，∠B=∠ADC．
（1）求證：AB=DC；
（2）設點P是△DCE的重心，連接DP，若∠B=60°，AB=DE=2，求DP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求證：AB=DC，可以轉化為證明△ABC≌△CDA．
（2）易證△DCE是等邊三角形，延長DP交CE于F，則F是CE的中點且DF⊥CE，在Rt△DFC中根據三角函數求解．
解答：（1）證明：連接AC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．              （1分）
又∵∠B=∠ADC，AC=AC，（1分）
∴△ABC≌△CDA．             （1分）
∴AB=DC．                    （1分）

（2）∵∠B=60°，
∴∠ADC=60°．
又∵AD∥BC，
∴∠DCE=∠ADC=60°．        （1分）
∵AB=DC，
∴DC=AB=DE=2．
∴△DCE是等邊三角形．        （1分）
延長DP交CE于F．
∵P是△DCE的重心，
∴F是CE的中點．             （1分）
∴DF⊥CE．
在Rt△DFC中，
sin∠DCF=，
∴DF=2×sin60°=．       （1分）
∴DP=．                （1分）
點評：三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．