Question

【題目】【問題提出】

如圖①，已知△ABC是等腰三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，將△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF連接EF．試證明：AB=DB+AF；

【類比探究】

（1）如圖②，如果點E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數量關系？請說明理由；

（2）如果點E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請在圖③的基礎上將圖形補充完整，并寫出AB，DB，AF之間的數量關系，不必說明理由．

Answer 1

【答案】【問題提出】證明見試題解析；【類比探究】（1）AB=BD+AF；（2）AF=AB+BD．

【解析】

試題分析：首先判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，AB=AE+BF，所以AB=DB+AF．

（1）首先判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∠FCG=∠FEA，再根據∠FCG=∠EAD，∠D=∠EAD，可得∠D=∠FEA；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進而判斷出AB=BD﹣AF即可．

（2）首先根據點E在線段BA的延長線上，在圖③的基礎上將圖形補充完整，然后判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，再判斷出∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF；最后根據全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進而判斷出AF=AB+BD即可．

試題解析：ED=EC=CF，∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF，∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等邊三角形，∴EF=EC，∠CEF=60°，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵△ABC是等腰三角形，∠BCA=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠CAF=∠CBA=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，∵∠CAF=∠CEF=60°，∴A、E、C、F四點共圓，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=EC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，在△EDB和△FEA中，∵∠DBE=∠EAF，∠D=∠AEF，ED=EF（AAS），∴△EDB≌△FEA，∴DB=AE，BE=AF，∵AB=AE+BE，∴AB=DB+AF．

（1）AB=BD+AF；

延長EF、CA交于點G，∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等邊三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∵∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∵∠FCG=∠ECD，∠D=∠ECD，∴∠D=∠FEA，由旋轉的性質，可得∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°，在△EDB和△FEA中，∵∠DBE=∠EAF，∠D=∠AEF，ED=EF（AAS），∴△EDB≌△FEA，∴BD=AE，EB=AF，∴BD=FA+AB，即AB=BD﹣AF；

（2）如圖③，，ED=EC=CF，∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，∴△CEF是等邊三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵AB=AC，BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，又∵∠CBE=∠CAF，∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC=180°﹣60°﹣60°=60°∴∠DBE=∠EAF；∵ED=EC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，∴∠BDE=∠AEF，在△EDB和△FEA中，∵∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF，ED=EF（AAS），∴△EDB≌△FEA，∴BD=AE，EB=AF，∵BE=AB+AE，∴AF=AB+BD，即AB，DB，AF之間的數量關系是：AF=AB+BD．