Question

關于x的方程有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）已知關于x的方程x²-（k+1）x+k+2=0的兩個實數根的平方和等于6，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于關于x的方程有兩個不相等的實數根，那么可以得到k≠0，并且方程的判別式大于0，由此即可確定k的取值范圍；
（2）首先根據一元二次方程根與系數的關系得到兩根之和與兩根之積，然后把兩個實數根的平方和變換兩根之和與兩根之積相關的形式，由此即可得到關于k的方程，解方程就可以求出k的值．
解答：解：（1）依題意得△=（k+2）²-4k•＞0，
解之得k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范圍是k＞-1，且k≠0；

（2）設方程的兩個實數根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=k+2，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6，
即（k+1）²-2（k+2）=6，
解得：k=±3，
當k=3時，△=16-4×5＜0，
∴k=3（舍去）；
當k=-3時，△=4-4×（-1）＞0，
∴k=-3．
點評：此題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系和一元二次方程根與系數的關系，綜合性比較強．第一小題通過利用一元二次方程根的情況與判別式△的關系得到關于k的不等式解決問題；第二小題通過利用一元二次方程根與系數的關系得到關于k的方程解決問題．