Question

小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3＋2＝(1＋)²，善于思考的小明進行了以下探索：

設a＋b＝(m＋n)²（其中a、b、m、n均為整數），

則有a＋b＝m²＋2n²＋2mn．

∴a＝m²＋2n²，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a＋b的式子化為平方 式的方法．

請仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a＋b＝(m＋n)²，用含m、n的式子分別表示a、b，得a＝_      ，b＝_      ；

（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n，

填空：_  ＋_  ＝(_  ＋_  )²；

（3）若a＋4＝(m＋n)²，且a、m、n均為正整數，求a的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）m²+3n²，2mn；（2）4、2、1、1；（3）7或13.

【解析】

試題分析：（1）根據完全平方公式運算法則，即可得出a、b的表達式；

（2）首先確定好m、n的正整數值，然后根據（1）的結論即可求出a、b的值；

（3）根據題意，4=2mn，首先確定m、n的值，通過分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可確定好a的值．

試題解析：（1）∵a+b=(m+n)²，

∴a+b=m²+3n²+2mn，

∴a=m²+3n²，b=2mn．

（2）設m=1，n=1，

∴a=m²+3n²=4，b=2mn=2．

（3）由題意，得：

a=m²+3n²，b=2mn

∵4=2mn，且m、n為正整數，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=2²+3×1²=7，或a=1²+3×2²=13．

考點: 二次根式的混合運算．