Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD邊AB上一點(不與點A，B重合)，連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉90°得到線段PE， PE交邊BC于點F．連接BE、DF.

（1）求證：∠ADP=∠EPB；

（2）求∠CBE的度數；

（3）當的值等于多少時．△PFD∽△BFP？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）45°（3）見解析

【解析】

（1）根據∠ADP與∠EPB都是∠APD的余角，根據同角的余角相等，即可求證；

（2）首先證得△PAD≌△EQP，可以證得△BEQ是等腰直角三角形，可以證得∠EBQ=45°，即可證得∠CBE=45°；

（3）這兩個三角形是直角三角形，若相似，則對應邊的比相等，即可求得的值．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形．

∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∵∠DPE=90°，

∴∠APD+∠EPB=90°，

∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：過點E作EQ⊥AB交AB的延長線于點Q，則∠EQP=∠A=90°，

又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，

∴△PAD≌△EQP，

∴EQ=AP，AD=AB=PQ，

∴AP=EQ=BQ，

∴∠CBE=∠EBQ=45°；

（3）．

理由：∵△PFD∽△BFP，

∴,

∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A

∴△DAP∽△PBF

∴，

∴PA=PB

∴當時，△PFD∽△BFP．