Question

已知關于x的方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0的兩個不相等實根中有一個是0．
（1）請求出m的值；
（2）是否存在實數k，使關于x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0的兩個實根x₁，x₂之差的絕對值為1？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據△的意義得到m＞-1，再把x=0代入方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0得m²-2m-3=0，解得m₁=3，m₂=-1，即可得到滿足條件的m的值；
（2）把m=3代入方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0得x²-（k-3）x-k+4=0，根據根與系數的關系得到x₁+x₂=k-3，x₁x₂=-k+4，然后由|x₁-x₂︳=1變形得（x₁-x₂）²=1，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂-1=0
再把x₁+x₂=k-3，x₁x₂=-k+4代入得到關于k的方程，然后解方程，若k有實數解并且使原方程也有解，就可判斷存在．
解答：解：（1）∵方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0的兩個不相等實根，
∴△=4（m+1）²-4（m²-2m-3）＞0，
∴m＞-1，
把x=0代入方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0得m²-2m-3=0，
∵（m-3）（m+1）=0，
∴m₁=3，m₂=-1，
而m＞-1，
∴m的值為3；
（2）存在．
把m=3代入方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0得
x²-（k-3）x-k+4=0，
∴x₁+x₂=k-3，x₁x₂=-k+4，
∵|x₁-x₂︳=1，
∴（x₁-x₂）²=1，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂-1=0
（k-3）²-4（-k+4）-1=0，
整理得k²-2k-8=0，
k₁=4，k₂=-2，
當k=4和-2時方程x²-（k-3）x-k+4=0都有兩個實數，
∴存在實數k，使關于x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0的兩個實根x₁，x₂之差的絕對值為1．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判別式．