Question

在圓內接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F為弧AD上一點，

BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E．

⑴求證△ABD為等腰三角形．

⑵求證AC•AF=DF•FE

 

Answer 1

⑴由圓的性質知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD為等腰三角形．

⑵∵∠DBA=∠DAB

∴弧AD=弧BD

又∵BC=AF

∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA

∴弧CD=弧DF

∴CD=DF

再由“圓的內接四邊形外角等于它的內對角”知

∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE

∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE②  由①②得△DCA∽△FAE

∴AC：FE=CD：AF

∴AC•AF=CD •FE

而CD=DF，

∴AC•AF=DF•FE

解析:略