Question

【題目】如圖所示：拋物線交坐標軸于、、三點，是拋物線的頂點，在對稱軸上，在坐標軸上．以下結論：

①存在點，使是等腰直角三角形；②的最小值是；③的最大值是；④若與相似，則的坐標恰有兩個．

其中正確的是________（只填序號）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

先根據拋物線的解析式確定點的坐標為，點坐標為，點坐標為，對稱軸為直線，點坐標為；由于為等腰直角三角形，易得，則，可得到點坐標為；由于點與點關于直線對稱，根據兩點之間線段最短得到當點在的位置時，有最小值，最小值為的長，運用勾股定理可計算；由于三角形任意兩邊之差小于第三邊，則當點在的位置時，有最大值，最大值為的長，再根據勾股定理可計算出；根據勾股定理的逆定理可得到，若與相似，則為直角三角形，當時，根據，可得到，則滿足條件；當時，由于，可得到滿足條件；當時，由于得到，則有滿足條件.

令，則，解得，，令，，

點的坐標為，點坐標為，點坐標為，

，

拋物線的對稱軸為直線，點坐標為，

（1）設點坐標為，作直線，直線與軸交于點，如圖，

當為等腰直角三角形，則，

，

點坐標為，所以①正確；

（2）點與點關于直線對稱，與直線的交點為，

當點在的位置時，有最小值，最小值為的長，即，所以②正確；

（3）延長交直線于，

當點在的位置時，有最大值，最大值為的長，即，所以③正確；

（3） ，，，

，

，

點點在原點，即的位置時，，

，

滿足條件，

當時，

，，

，

滿足條件；

當時，

，，

，

滿足條件，所以④錯誤.

故答案為：①②③.