Question

已知AB為⊙O直徑，以OA為直徑作⊙M．過B作⊙M得切線BC，切點為C，交⊙O于E．
（1）在圖中過點B作⊙M作另一條切線BD，切點為點D（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不用證明）；
（2）證明：∠EAC=∠OCB；
（3）若AB=4，在圖2中過O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切線BD于N，求BN的值．

Answer 1

分析：（1）以MB為直徑作圓，與⊙M相交于點D，直線BD即為另一條切線．
（2）根據BC切圓與點C，得到∠OCB=∠OAC、∠ECA=∠COA；再根據OA、AB分別為⊙M、⊙O的直徑得到∠AEC=∠ACO=90°，從而得到∠EAC=∠OAC=OCB；
（3）連接DM，則可以得到∠BDM=90°，然后利用△BON∽△BDM列出比例式求得BN的長即可．

解答：（1）解：以MB為直徑作圓，與⊙M相交于點D，直線BD即為另一條切線．

（2）證明：∵BC切圓與點C，
∴∠OCB=∠OAC，∠ECA=∠COA；
∵OA、AB分別為⊙M、⊙O的直徑
∴∠AEC=∠ACO=90°，
∵∠EAC+∠ECA=90°，∠OAC+∠COA=90°，
∴∠EAC=∠OAC=∠OCB．

（3）解：連接DM，則∠BDM=90°在Rt△BDM中，BD=2

2

．
∵△BON∽△BDM，
∴

BN

BM

=

BO

BD

，
∴

BN

3

=

2

2 2

，
∴BN=

3 2

2

．

點評：本題考查了切線的性質、圓周角定理及相似三角形的判定及性質，比較復雜，是一道難題．