Question

（本題滿分10分）已知AB為⊙O直徑，以ＯＡ為直徑作⊙M。過B作⊙M得切線BC，切點為C，交⊙O于E。
（1）在圖中過點B作⊙M作另一條切線BD，切點為點D（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不用證明）；
（2）證明：∠EAC=∠OCB；
（3）若AB=4，在圖2中過O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切線BD于N，求BN的值。

Answer 1

（1）以MB為直徑作圓，與⊙M相交于點D，直線BD即為另一條切線。
（2）證明：∵BC切圓與點C，所以有∠OCB=∠OAC，∠ECA=∠COA；
∵OA、AB分別為⊙M、⊙O的直徑 ∴∠AEC=∠ACO=90°，
∵∠EAC+∠ECA=90°，∠OAC+∠COA=90°，∴∠EAC=∠OAC= OCB

（3）連結DM，則∠BDM=90°在Rt△BDM中，BD=.
∵△BON∽△BDM ∴ ∴ ∴BN=。

解析