Question

如圖：在⊙O中，經過⊙O內一點P有一條弦AB，且AP=4，PB=3，過P點另有一動弦CD，連結AC，DB．設CP=x，PD=y．

（1）求證：△ACP∽△DBP；
（2）求y關于x的函數解析式；
（3）若CD=8時，求S_△ACP：S_△DBP的值．

Answer 1

（1）△ACP和△DBP中，根據圓周角定理即可得到兩組對應角相等，由此得證；（2）；（3）4:9或4:1．

試題分析：（1）△ACP和△DBP中，根據圓周角定理即可得到兩組對應角相等，由此得證；
（2）根據相似三角形得到的比例線段即可求出y、x的函數關系式；
（3）已知CD=CP+PD=8，聯立（2）的函數關系式，即可求得CP、PD的長，進而可根據相似三角形的面積比等于相似比的平方得出所求的結果．
（1）∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP；
（2）由（1）得CP:BP=AP:PD即，解得；
（3）由CD=8即和解得或 
則S_△ACP：S_△DBP=4:9或4:1．
點評：解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理：同弧等等弧所對的圓周角相等，都等于所對圓心角的一半.