Question

（2012•大慶）已知等邊△ABC和⊙M．
（l）如圖1，若⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，求證：AM∥BC；
（2）如圖2，若⊙M與BA的延長線AK、BC的延長線CF及邊AC均相切，求證：四邊形ABCM是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）由等邊△ABC，即可得∠B=∠BAC=60°，求得∠KAC=120°，又由⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，利用切線長定理，即可得∠KAM=60°，然后根據同位角相等，兩直線平行，證得AM∥BC；
（2）根據（1），易證得AM∥BC，CM∥AB，繼而可證得四邊形ABCM是平行四邊形．

解答：證明：（1）連接AM，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，
∴∠KAC=180°-∠BAC=120°，
∵⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，
∴∠KAM=∠CAM=

1

2

∠KAC=

1

2

×120°=60°，
∴∠KAM=∠B=60°，
∴AM∥BC；

（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠KAC=180°-∠BAC=120°，∠FCA=120°，
∵⊙M與BA的延長線AK、BC的延長線CF及邊AC均相切，
∴∠KAM=∠CAM=

1

2

∠KAC=

1

2

×120°=60°，∠FCM=∠ACM=

1

2

∠FCA=

1

2

×120°=60°，
∴∠KAM=∠B=60°，∠FCM=∠B=60°，
∴AM∥BC，CM∥AB，
∴四邊形ABCM是平行四邊形．

點評：此題考查了切線長定理、平行線的判定以及等邊三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．