Question

【題目】如圖，已知二次函數G1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（﹣1，0）和（0，3），對稱軸為直線x＝1．

（1）求二次函數G1的解析式；

（2）當﹣1＜x＜2時，求函數G1中y的取值范圍；

（3）將G1先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新二次函數G2，則函數G2的解析式是　 　．

（4）當直線y＝n與G1、G2的圖象共有4個公共點時，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）二次函數G1的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）0＜y≤4；（3）y＝﹣（x﹣4）2+2；（4）n的取值范圍為＜n＜2或n＜．

【解析】

（1）由待定系數法可得根據題意得解得，則G1的解析式為y＝﹣x2+2x+3;(2)將解析式化為頂點式，即y＝﹣（x﹣1）2+4，當x＝﹣1時，y＝0；x＝2時，y＝3；而拋物線的頂點坐標為（1，4），且開口向下，所以當﹣1＜x＜2時，0＜y≤4；（3）G1先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新二次函數G2，則函數G2的解析式是y＝﹣（x﹣1﹣3）2+4﹣2，即y＝﹣（x﹣4）2+2，故答案為y＝﹣（x﹣4）2+2；（4）解﹣（x﹣4）2+2═﹣（x﹣1）2+4得x＝，代入y＝﹣（x﹣1）2+4求得y＝，由圖象可知當直線y＝n與G1、G2的圖象共有4個公共點時，n的取值范圍為＜n＜2或n＜．

解：（1）根據題意得解得，

所以二次函數G1的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）因為y＝﹣（x﹣1）2+4，

所以拋物線的頂點坐標為（1，4）；

當x＝﹣1時，y＝0；x＝2時，y＝3；

而拋物線的頂點坐標為（1，4），且開口向下，

所以當﹣1＜x＜2時，0＜y≤4；

（3）G1先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新二次函數G2，則函數G2的解析式是y＝﹣（x﹣1﹣3）2+4﹣2，即y＝﹣（x﹣4）2+2，

故答案為y＝﹣（x﹣4）2+2．

（4）解﹣（x﹣4）2+2═﹣（x﹣1）2+4得x＝，

代入y＝﹣（x﹣1）2+4求得y＝，

由圖象可知當直線y＝n與G1、G2的圖象共有4個公共點時，n的取值范圍為＜n＜2或n＜．