Question

（附加題：如果你的全卷得分不足150分，則本題的得分記入總分，但記入總分后全卷得分不得超過150分，超過按150分算．）
如圖是二次函數(shù)y=-

1

2

x²+2的圖象在x軸上方的一部分，若這段圖象與x軸所圍成的陰影部分面積為S，試求出S取值的一個(gè)范圍．

Answer 1

分析：由于陰影部分為拋物線和坐標(biāo)軸構(gòu)成，初中階段沒有公式可利用，只能利用“（1）S在△ABC面積與過A、B、C三點(diǎn)的⊙O半圓面積之間，（2）這段圖象在圖示半徑為

3

、2的兩個(gè)半圓所夾的圓環(huán)內(nèi)”的特點(diǎn)來進(jìn)行估算其取值范圍．

解答：解：
方法一：
由題意，可知這段圖象與x軸的交點(diǎn)為A（-2，0）、B（2，0），與y軸的交點(diǎn)為C（0，2）．（2分）
顯然，S在△ABC面積與過A、B、C三點(diǎn)的⊙O半圓面積之間．（3分）
∵S_△ABC=4，（4分）

1

2

S_⊙O=2π，（5分）
∴4＜S＜2π．（6分）
說明：關(guān)于半圓⊙O的面積大于圖示陰影部分面積的證明，如下（對學(xué)生不要求）：
設(shè)P（x，y）在圖示拋物線上，則
OP²=x²+y²=（4-2y）+y²=（y-1）²+3．
∵0≤y≤2，
∴3≤OP²≤4．
∴點(diǎn)P在半圓x²+y²=3、x²+y²=4所夾的圓環(huán)內(nèi)，以及點(diǎn)P為內(nèi)圓周點(diǎn)（±

2

，1）與外圓周點(diǎn)A、B、C．
∴半圓⊙O的面積大于圖示陰影部分的面積．
由于內(nèi)半圓的面積為

1

2

S_⊙O-

3π

2

，
∴

3π

2

＜S＜2π．
如果學(xué)生能得出此結(jié)論，可在上面結(jié)論基礎(chǔ)上，加（4分）．
方法二：
由題意，可知這段圖象與x軸的交點(diǎn)為A（-2，0）、B（2，0），與y軸的交點(diǎn)為C（0，2）．（2分）
顯然，這段圖象在圖示半徑為

3

、2的兩個(gè)半圓所夾的圓環(huán)內(nèi)，以及過內(nèi)半圓上點(diǎn)
P（±

2

，1）與半外圓上點(diǎn)A、B、C．（5分）
∴S在圖示兩個(gè)半圓面積之間．（7分）
即

1

2

π•（

3

）²＜S＜

1

2

π•2²．（9分）
∴

3π

2

＜S＜2π．（10分）

點(diǎn)評：此題考查了同學(xué)們的估算能力，用不同的圖形為標(biāo)準(zhǔn)可得到不同的取值范圍，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力．當(dāng)以后學(xué)習(xí)了積分，可直接求的陰影部分的準(zhǔn)確值．