Question

（附加題：如果你的全卷得分不足150分，則本題的得分記入總分，但記入總分后全卷得分不得超過150分，超過按150分算．）
如圖是二次函數y=-x²+2的圖象在x軸上方的一部分，若這段圖象與x軸所圍成的陰影部分面積為S，試求出S取值的一個范圍．

Answer 1

【答案】分析：由于陰影部分為拋物線和坐標軸構成，初中階段沒有公式可利用，只能利用“（1）S在△ABC面積與過A、B、C三點的⊙O半圓面積之間，（2）這段圖象在圖示半徑為、2的兩個半圓所夾的圓環內”的特點來進行估算其取值范圍．
解答：解：
方法一：
由題意，可知這段圖象與x軸的交點為A（-2，0）、B（2，0），與y軸的交點為C（0，2）．（2分）
顯然，S在△ABC面積與過A、B、C三點的⊙O半圓面積之間．（3分）
∵S_△ABC=4，（4分）
S_⊙O=2π，（5分）
∴4＜S＜2π．（6分）
說明：關于半圓⊙O的面積大于圖示陰影部分面積的證明，如下（對學生不要求）：
設P（x，y）在圖示拋物線上，則
OP²=x²+y²=（4-2y）+y²=（y-1）²+3．
∵0≤y≤2，
∴3≤OP²≤4．
∴點P在半圓x²+y²=3、x²+y²=4所夾的圓環內，以及點P為內圓周點（，1）與外圓周點A、B、C．
∴半圓⊙O的面積大于圖示陰影部分的面積．
由于內半圓的面積為S_⊙O-，
∴＜S＜2π．
如果學生能得出此結論，可在上面結論基礎上，加（4分）．
方法二：
由題意，可知這段圖象與x軸的交點為A（-2，0）、B（2，0），與y軸的交點為C（0，2）．（2分）
顯然，這段圖象在圖示半徑為、2的兩個半圓所夾的圓環內，以及過內半圓上點
P（，1）與半外圓上點A、B、C．（5分）
∴S在圖示兩個半圓面積之間．（7分）
即π•（）²＜S＜π•2²．（9分）
∴＜S＜2π．（10分）
點評：此題考查了同學們的估算能力，用不同的圖形為標準可得到不同的取值范圍，有利于培養同學們的創新思維能力．當以后學習了積分，可直接求的陰影部分的準確值．