Question

（2004•石景山區模擬）已知：如圖，BC是半圓O的直徑，D、E是半圓O上兩點，，CE的延長線與BD的延長線交于點A，過點E作EF⊥BC于點F，交CD與點G．
（1）求證：AE=DE；
（2）若AE=，cot∠ABC=，求DG．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓周角定理及直角三角形的性質可得到∠A=∠ADE，再根據等角對等邊即可求得結論．
（2）連接BE，根據已知及相似三角形的判定得到△ECG∽△DCE，根據相似三角形的對應邊成比例即可求得CG，DG的值．
解答：（1）證明：∵BC是半圓O直徑，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵，
∴∠EDC=∠ECD．
∴∠A=∠ADE．
∴AE=DE．（3分）

（2）解：連接BE，
∵，
∴DE=EC．
∴AE=EC=2．
∵BC是半圓O直徑，
∴∠BEC=90°即BE⊥AC．
∴BA=BC．
∵Rt△BDC中，cot∠ABC=，
設BD=3x，CD=4x，則BC=5x，
∴AB=BC=5x，AD=2x．
∵AE•AC=AD•AB，
∴=2x•5x．
解得：x=2，即CD=8．（6分）
∵EF⊥BC，
∴∠CEF+∠ECB=90°．
∵B，C，E，D四點共圓，
∴∠ADE=∠ECB．
又∵∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠CEF=∠EDC．
∵∠DCE為公共角，
∴△ECG∽△DCE．
∴．
∴GC=．
∴DG=8-．（8分）
點評：本題考查圓周角定理，相似三角形的判定，直角三角形的性質等知識點的綜合運用．