Question

如圖，點A優弧BC的中點，E，D分別為弧AB和弧AC的中點，連接AC，EC，AD，連接BD交AC于點F．交EC于G．
（1）求證：EC∥AD；
（2）若AF=CD=1，求FG的長．

Answer 1

解：（1）證明：∵點A優弧BC的中點，
∴弧AB=弧AC，
又∵E，D分別為弧AB和弧AC的中點，
∴弧AE=弧CD
∴∠ACE=∠CAD，
∴CE∥AD；

（2）∵CE∥AD，
∴∠ADF=∠CGF，
∵弧AB=弧ED，∴∠ADB=∠DCG，
又∠ADB=∠DGC，
∴∠DGC=∠DCG，
∴DG=DC，
又弧BC=弧CD，
∴∠CDG=∠DAC，又∠DAC=∠ACD，
∴∠CDG=∠ACD，
∴CF=DF，
∴AF=CD=DG=AD=1，
∴△CDF∽△CDA，
∴CD²=CF•AC，
設CF=x，
∴1=x（x+1）
∴，
∴FG=DG-DF=CD-FC=1-=．
分析：（1）在同圓中，弧相等，則弦相等，所對的圓周角相等，可得出∠ACE=∠CAD，從而得出CE∥AD；
（2）在三角形ADF和三角形CFG中，有兩對角相等，則∠ADF=∠CGF，則DG=DC，可得出∠BDC=∠DAC，則DF=CF，△CDF∽△CDA，則CD²=CF•AC，設CF=x，代入即可得出x的值，進而得出FG的長．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，圓心角、弧、弦之間的關系，圓周角定理，是基礎知識要熟練掌握．