Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為2

3

，點A為弦BC所對優弧上任意一點（B，C兩點除外）．
（1）求∠BAC的度數；
（2）求△ABC面積的最大值．
（參考數據：sin60°=

3

2

，cos30°=

3

2

，tan30°=

3

3

．）

Answer 1

分析：（1）連接OB、OC，作OE⊥BC于點E，由垂徑定理可得出BE=EC=

3

，在Rt△OBE中利用銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值可求出∠BOE的度數，再由圓周角定理即可求解；
（2）因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A應落在優弧BC的中點處，過OE⊥BC于點E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點，連接AB，AC，則AB=AC，由圓周角定理可求出∠BAE的度數，在Rt△ABE中，利用銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值可求出AE的長，由三角形的面積公式即可解答．

解答：解：（1）解法一：
連接OB，OC，過O作OE⊥BC于點E．
∵OE⊥BC，BC=2

3

，
∴BE=EC=

3

．（1分）
在Rt△OBE中，OB=2，∵sin∠BOE=

BE

OB

=

3

2

，
∴∠BOE=60°，∴∠BOC=120°，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=60°．（4分）
解法二：
連接BO并延長，交⊙O于點D，連接CD．
∵BD是直徑，∴BD=4，∠DCB=90°．
在Rt△DBC中，sin∠BDC=

BC

BD

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠BDC=60°，∴∠BAC=∠BDC=60°．（4分）

（2）解：因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處．（5分）
過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點．連接AB，AC，則AB=AC，∠BAE=

1

2

∠BAC=30°．
在Rt△ABE中，∵BE=

3

，∠BAE=30°，
∴AE=

BE

tan30°

=

3

3 3

=3，
∴S_△ABC=

1

2

×2

3

×3=3

3

．
答：△ABC面積的最大值是3

3

．（7分）

點評：本題考查的是垂徑定理、圓周角定理及解直角三角形，能根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．