Question

Given in the△ABC，a，b，c are three sides of the triangle，and

3

a

=

2

b

+

1

c

，then∠A is（　　）
（英漢詞典acute angle：銳角；obtuse angle：鈍角）

• A、acute angle
• B、right angle
• C、obtues angle
• D、acute angle or obtues angle

Answer 1

分析：根據反證法假設a是最大邊，得出a＞b a＞c，即可得出

1

a

+

1

a

+

1

a

＜

1

b

+

1

b

+

1

c

，進而得出矛盾得出原命題正確；
也可以原式

3

a

=

2

b

+

1

c

可變形為：

3

a

-

3

b

=

1

c

-

1

b

，利用分式的運算得出

3(b-a)

ab

=

b-c

bc

，進而利用如果a＞b，則c＞b，以及如果a＜b 則c＜b，得出a，b，c的大小，從而得出A的取值范圍．

解答：方法一：
解：若a是最大邊則，a＞b a＞c 所以

1

a

＜

1

b

，

1

a

＜

1

c

，
∴

1

a

+

1

a

+

1

a

＜

1

b

+

1

b

+

1

c

，
∴

3

a

＜

2

b

+

1

c

而

3

a

=

2

b

+

1

c

，
所以矛盾所以a不是最大邊，若是∠A是鈍角或直角則a是最大邊與a不是最大邊矛盾所以∠A是銳角；
故選：A．

方法二：
解：原式 

3

a

=

2

b

+

1

c

可變形為：

3

a

-

3

b

=

1

c

-

1

b

，
∴

3(b-a)

ab

=

b-c

bc

，
 如果a＞b，則c＞b，此時

b-a

ab

＞

b-c

bc

，
展開bc（b-a）＞ab（b-c），
∴b²c-abc＞ab²-abc，
∴c＞a，
所以c＞a＞b，
∴0°＜A＜90°，
如果a＜b 則c＜b，
同理 c＜a，c＜a＜b，∴0°＜A＜90°（邊推角是根據大邊對大角小邊對小角推出的范圍）
故角A為銳角；
故選：A．

點評：此題主要考查了三角形的邊角關系，根據三角形中大邊對大角小邊對小角推出A的范圍是解題關鍵．