Question

如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點D在邊AC上（不與A、C重合），DE與AB相交于點F．
（1）求證：△BCD∽△DAF；
（2）若BC=1，設CD=x，AF=y；
①求y關于x的函數解析式及定義域；
②當x為何值時，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

？

Answer 1

分析：（1）由△ABC與△BDE都是等邊三角形，可得∠A=∠C=∠BDE=60°，即可得∠ADF=∠DBC，根據有兩個角對應相等的三角形相似，可得△BCD∽△DAF；
（2）①根據相似三角形的對應邊成比例，可得

BC

AD

=

CD

AF

，代入數值，化簡即可得y=x-x²（0＜x＜1）；
②由有兩個角對應相等的三角形相似，可得△EBF∽△CBD，由相似三角形的對應邊成比例與相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得比例式，列方程即可求得．

解答：解：（1）證明：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠A=∠C=∠BDE=60°，
∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC，
∴∠ADF=∠DBC，
∴△BCD∽△DAF．

（2）①解：∵△BCD∽△DAF，
∴

BC

AD

=

CD

AF

，
∵BC=1，設CD=x，AF=y，
∴

1

1-x

=

x

y

，
∴y=x-x²（0＜x＜1）．
②解：解法一：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∴

BE

BC

=

BF

BD

，
∴BE•BD=BF•BC
∵BE=BD，
∴BE²=BF•BC，
BC=1，
∴BE²=BF，
∵△EBF∽△CBD，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

，
∴

S△BEF

S△BCD

=

BE2

BC2

=

7

9

，
∴BE2=BF=

7

9

，
∴AF=

2

9

，
∴x-x2=

2

9

，
解得x1=

2

3

，x2=

1

3

，
∴當x=

1

3

或

2

3

時，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

．
解法二：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∵

S△BEF

S△BCD

=

7

9

，
∴

S△BEF

S△BCD

=

BE2

BC2

=

7

9

，
∵BC=1，BE=BD，
∴BD2=

7

9

．
過點B作BH⊥AC于點H，
∵∠C=60°，
∴BH=

3

2

，
∴DH=

1

6

，CH=

1

2

，
當點D在線段CH上時，CD=CH-DH=

1

2

-

1

6

=

1

3

；
當點D在線段CH的延長線上時，CD=CH+DH=

1

2

+

1

6

=

2

3

，
綜上所述，當x=

1

3

或

2

3

時，

S△BEF

S△BCD

=

7

9

．

點評：本題考查了相似三角形的性質與判定．解題時要注意相似三角形的對應邊成比例，相似三角形的面積比等于相似比的平方，以及有兩個角對應相等的三角形相似．