Question

在正方形ABCD中，AB=12，E在邊CD上，∠EBF=45°，EF=10．
（1）求△BEF的面積；
（2）求CE的長．

Answer 1

分析：（1）延長DC到Q，使CQ=AF，連接BQ，根據正方形性質推出AB=BC，∠A=∠DCB=∠BCQ=∠ABC=90°，根據SAS證△ABF≌△CBQ，推出BF=BQ，∠ABF=∠CBQ，求出∠EBQ=∠EBF，根據△EBF≌△EBQ，推出EF=EQ=10，根據△BEF的面積等于△EBQ的面積，代入求出即可；
（2）設CE=x，則得出E=12-x，DF═2+x，在△DEF中根據勾股定理得出DE²+DF²=EF²，代入得出方程，求出方程的解即可．

解答：（1）解：
延長DC到Q，使CQ=AF，連接BQ，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠A=∠DCB=∠BCQ=∠ABC=90°，
在△ABF和△CBQ中

AF=CQ ∠A=∠BCQ AB=BC

，
∴△ABF≌△CBQ，
∴BF=BQ，∠ABF=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，∠EBF=45°，
∴∠ABF+∠EBC=45°，
∴∠EBC+∠CBQ=45°=∠EBQ=∠EBF，
在△EBF和△EBQ中

BF=BQ ∠EBF=∠EBQ BE=BE

，
∴△EBF≌△EBQ，
∴EF=EQ=10，
∴△BEF的面積等于△EBQ的面積，即

1

2

EQ×BC=

1

2

×10×12=60．
答：△BEF的面積是60．

（2）解：設CE=x，則DE=12-x，DF=12-AF=12-CQ=12-（10-x）=2+x，
在△DEF中，由勾股定理得：DE²+DF²=EF²，
即（12-x）²+（2+x）²=10²，
解得：x₁=4，x₂=18＞10（舍去），
∴CE=4．

點評：本題考查了正方形性質，勾股定理，全等三角形的性質和判定，三角形的面積等知識點的運用，解（1）小題的關鍵是正確作輔助線，并證出△EBF≌△EBQ，解（2）小題的關鍵是在（1）的基礎式得出一個關于x的方程，用的數學思想是方程思想和轉化思想，題目比較好，具有一定的代表性．