Question

（2004•青島）把兩個全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現將三角板EFG繞O點逆時針旋轉（旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）．
（1）在上述旋轉過程中，BH與CK有怎樣的數量關系四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發現的結論；
（2）連接HK，在上述旋轉過程中，設BH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可將四邊形CHGK分成兩部分，然后通過證三角形全等，將四邊形的面積進行轉換來求解．連接CG，可通過證明三角形CGK與三角形BGH全等來得出他們的面積相等，進而將四邊形CHGK的面積轉換成三角形CGB的面積也就是三角形ABC面積的一半，由此可得出四邊形CHGK的面積是4，所以不會改變；
（2）連接HK后，根據（1）中得出的四邊形CHGK的面積為4，可根據三角形GHK的面積=四邊形CHGK的面積-三角形CHK的面積來求，如果BH=x，那么根據（1）的結果CK=x，有BC的長，那么CH=4-x，由此可得出關于x，y的函數關系式．x的取值范圍應該大于零小于4；
（3）只需將y=×8代入（2）的函數式中，可得出x的值．然后判斷x是否符合要求即可．
解答：解：（1）在上述旋轉過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變．
證明：連接CG，KH，
∵△ABC為等腰直角三角形，O（G）為其斜邊中點，
∴CG=BG，CG⊥AB，
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH與∠CGK均為旋轉角，
∴∠BGH=∠CGK，
在△BGH與△CGK中，

∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK，S_△BGH=S_△CGK．
∴S_{四邊形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△ABC=××4×4=4，
即：S_{四邊形CHGK}的面積為4，是一個定值，在旋轉過程中沒有變化；

（2）∵AC=BC=4，BH=x，
∴CH=4-x，CK=x．
由S_△GHK=S_{四邊形CHGK}-S_△CHK，
得y=4-x（4-x），
∴y=x²-2x+4．
由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，
∴0＜x＜4；

（3）存在．
根據題意，得x²-2x+4=×8，
解這個方程，得x₁=1，x₂=3，
即：當x=1或x=3時，△GHK的面積均等于△ABC的面積的．
點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定等知識點，通過構建全等三角形將面積進行轉換是解題的關鍵．