Question

（2004•青島）把兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長(zhǎng)均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分（如圖②）．
（1）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（2）連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)BH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可將四邊形CHGK分成兩部分，然后通過(guò)證三角形全等，將四邊形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換來(lái)求解．連接CG，可通過(guò)證明三角形CGK與三角形BGH全等來(lái)得出他們的面積相等，進(jìn)而將四邊形CHGK的面積轉(zhuǎn)換成三角形CGB的面積也就是三角形ABC面積的一半，由此可得出四邊形CHGK的面積是4，所以不會(huì)改變；
（2）連接HK后，根據(jù)（1）中得出的四邊形CHGK的面積為4，可根據(jù)三角形GHK的面積=四邊形CHGK的面積-三角形CHK的面積來(lái)求，如果BH=x，那么根據(jù)（1）的結(jié)果CK=x，有BC的長(zhǎng)，那么CH=4-x，由此可得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．x的取值范圍應(yīng)該大于零小于4；
（3）只需將y=×8代入（2）的函數(shù)式中，可得出x的值．然后判斷x是否符合要求即可．
解答：解：（1）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變．
證明：連接CG，KH，
∵△ABC為等腰直角三角形，O（G）為其斜邊中點(diǎn)，
∴CG=BG，CG⊥AB，
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角，
∴∠BGH=∠CGK，
在△BGH與△CGK中，

∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK，S_△BGH=S_△CGK．
∴S_{四邊形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△ABC=××4×4=4，
即：S_{四邊形CHGK}的面積為4，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中沒(méi)有變化；

（2）∵AC=BC=4，BH=x，
∴CH=4-x，CK=x．
由S_△GHK=S_{四邊形CHGK}-S_△CHK，
得y=4-x（4-x），
∴y=x²-2x+4．
由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，
∴0＜x＜4；

（3）存在．
根據(jù)題意，得x²-2x+4=×8，
解這個(gè)方程，得x₁=1，x₂=3，
即：當(dāng)x=1或x=3時(shí)，△GHK的面積均等于△ABC的面積的．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)建全等三角形將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．