Question

已知，如圖：平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+2x+c的圖象與x軸分別交于點A、B，其中點B在點A的右側，拋物線圖象與y軸交于點C，且經過點D（2，3）．
（1）求c值；
（2）求直線BC的解析式；
（3）動點M在線段CB上由點C向終點B運動（點M不與點C、B重合），以OM為邊在y軸右側做正方形OMNF．設M點運動速度為個單位/秒，運動時間為t．求以O、M、N、B、F為頂點的五邊形面積與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將（2，3）代入拋物線的解析式求出c的值．
（2）設BC的解析式為y=ax+b，將C、D的坐標代入，即可求得a、b的值；
（3）當OM⊥BC時，構不成五邊形，因此以此為界限分類討論，兩種情況下思路一樣，分別過O、N作BC的垂線，通過構造的全等三角形，來求出△BMN中BM邊上的高，然后分別求正方形和三角形的面積即可．
解答：解：（1）把（2，3）代入y=-x²+2x+c中得c=3；

（2）設BC的解析式為y=ax+b，將C（0，3），B（3，0）代入y=ax+b中，
解得b=3，a=-1，故y=-x+3；

（3）當OM⊥BC時，構不成五邊形，因此以此為界限分類討論，
①當＜t＜3時，分別過O、N作BC的垂線，垂足分別為P、Q，則△OPM≌△MQN，PM=NQ，
其中，OP=CP=，CM=t，CB=3，
所以PM=NQ=t，MB=，OM==，
所以，正方形OMNF的面積為2t²-6t+9，△BMN的面積為=，
故五邊形面積為s=；
②當0＜t＜，同理可得（0＜t＜）．
綜上所述，（0＜t＜），s=（＜t＜3）．
點評：本題考查求一次函數、二次函數的解析式等知識，綜合性比較強，難度較大．