Question

（2006•青浦區二模）如圖，已知二次函數y=x²+bx+c的圖象經過點A（-2，0）、B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）如在線段OC上有一點P，且點P到點B的距離為，那么在x軸上是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是梯形？如存在，請求出點Q的坐標；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A（-2，0），B（3，0）代入函數解析式，利用待定系數法可求得y=x²-x-6；
（2）根據題意易求得OC=6，設P（0，m），則，所以，解得m₁=2，m₂=-2，即P（0，-2），當PQ∥AC時，四邊形QACP是梯形，利用梯形的性質可求得，即，當AP∥CQ時，四邊形APCQ是梯形，根據梯形的性質可求得OQ=6，即Q（-6，0），所以可知點Q的坐標為（-，0），（-6，0）．
解答：解：（1）∵y=x²+bx+c經過點A（-2，0），B（3，0）
∴．（2分）
解得．
∴y=x²-x-6（2分）

（2）∵y=x²-x-6與y軸交于點c
∴c（0，6）
∴OC=6（3分）
設P（0，m）
∴
∴m₁=2，m₂=-2
∴P（0，-2）（5分）
當PQ∥AC時，四邊形QACP是梯形
∴∴
∴
∴（7分）
當AP∥CQ時，四邊形APCQ是梯形
∴∴
∴OQ=6
∴Q（-6，0）（9分）
∴存在點Q，點Q的坐標為．（10分）
點評：本題考查二次函數的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式和二次函數和方程之間的關系以及利用數形結合的方法求算線段的長度和點的坐標等．要熟練掌握才能靈活運用．