Question

（2009•孝感）如圖，正方形ABCD內有兩條相交線段MN，EF，M，N，E，F分別在邊AB，CD，AD，BC上．小明認為：若MN=EF，則MN⊥EF；小亮認為：若MN⊥EF，則MN=EF．你認為（ ）

A．僅小明對
B．僅小亮對
C．兩人都對
D．兩人都不對

Answer 1

【答案】分析：若MN=EF，先構造出以MN與EF為斜邊的直角三角形，然后證明兩直角三角形全等，然后根據全等三角形的對應角相等，結合圖象可以證明出EF與MN垂直；第一個圖中的線段EF沿直線EG折疊過去，得到的就是反例，此時有MN=EF，但是MN與EF肯定不垂直，因此小明的觀點是錯誤的；
若MN⊥EF，則MN=EF，分別把MN和EF平移，然后根據三角函數即可得出結論．
解答：解：①若MN=EF，則必有MN⊥EF，這句話是正確的．
如圖，∵EF=MN，MH=EG，
∴Rt△MHN≌Rt△EGF（HL），
∴∠EFG=∠MNH，
又∵∠EFG=∠ELM，
∴∠NMH+∠MNH=∠NMH+∠EFG=∠NMH+∠ELM=90°，
∴∠MOL=90°，
即MN⊥EF．
第一個圖中的線段EF沿直線EG折疊過去，得到的就是反例，此時有MN=EF，但是MN與EF肯定不垂直，因此小明的觀點是錯誤的；

②若MN⊥EF，則MN=EF這句話是對的；
分別把MN和EF平移，如圖，
∠AMN=∠AGD=∠BFE=∠DHC，
MN=GD=AD÷sin∠AGD，
EF=HC=CD÷sin∠DHC，
因此MN=EF．
故選B．
點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，本題如圖所示起到關鍵的作用，沒有圖形的限制，則第一種情況不一定正確．