Question

（2009•孝感）如圖，點(diǎn)P是雙曲線（k₁＜0，x＜0）上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，交雙曲線y=（0＜k₂＜|k₁|）于E、F兩點(diǎn)．
（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S₁=______（用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）圖2中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3）．
①判斷EF與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②記S₂=S_△PEF-S_△OEF，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)可知：四邊形OAPB面積為K₁，△OAE與△OBF面積之和為K₂，可求四邊形PEOF的面積；
（2）①根據(jù)題意，易寫(xiě)點(diǎn)A、B、E、F坐標(biāo)，可求線段PA、PE、PB、PF的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)PA：PE=PB：PF，又∠APB=∠EPF，依據(jù)相似三角形判定，可得△APB∽△EPF，∠PAB=∠PEF，從而得出EF與AB的位置關(guān)系．
②如果過(guò)E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，兩線交于點(diǎn)Q．由S_△EFQ=S_△PEF，可得出S₂的表達(dá)式，然后根據(jù)自變量的取值范圍得出結(jié)果．
解答：解：（1）四邊形PEOF的面積S₁=四邊形PAOB的面積+三角形OAE的面積+三角形OBF的面積=|k₁|+k₂=k₂-k₁； （3分）

（2）①EF與AB的位置關(guān)系為平行，即EF∥AB．（4分）
證明：如圖，由題意可得：
A（-4，0），B（0，3），，，
∴PA=3，PE=，PB=4，PF=
∴，，
∴，（6分）
又∵∠APB=∠EPF，
∴△APB∽△EPF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；（7分）

②S₂沒(méi)有最小值，理由如下：
過(guò)E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，兩線交于點(diǎn)Q，
由上知M（0，），N（，0），Q（，）（8分）
而S_△EFQ=S_△PEF，
∴S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF
=S_△EOM+S_△FON+S_矩形OMQN
=
=
=，（10分）
當(dāng)k₂＞-6時(shí)，S₂的值隨k₂的增大而增大，而0＜k₂＜12，（11分）
∵k₂=12時(shí)S₂=24，
∴0＜S₂＜24，S₂沒(méi)有最小值．（12分）
故（1）的答案為：k₂-k₁
點(diǎn)評(píng)：此題難度較大，主要考查了反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及相似三角形判定．同學(xué)們要熟練掌握相似三角形的判定方法．